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SP青行灯攻略:一道难度适中的数学题

SP青行灯,是ACM竞赛中的一道著名数学题目,难度适中,但也需要一定的数学素养和思维能力才能正确解答。本文将从题目描述、解法分析、技巧回顾一下三个方面,对SP青行灯进行详细的讲解。

一、题目描述

题目大意:在一个n*m的矩阵中,每个格子中除了有一个整数外,还有一个颜色,求从左下角到右上角,经过颜色和为K的格子的最小路径和。

二、解法分析

1. 状态表示

设dp[i][j][k]表示从(1,1)到(i,j)的颜色和为k的最小路径和。

2. 状态转移方程

设当前格子的颜色为w[i][j]:

若k<=w[i][j],则dp[i][j][k]=min(dp[i][j][k],dp[i-1][j][k-w[i][j]]+val[i][j])。

若k>w[i][j],则dp[i][j][k]=min(dp[i-1][j][k],dp[i][j-1][k])。

3. 边界情况

当i=1,j=1时,dp[i][j][w[1][1]]=val[1][1],其余情况dp[i][j][k]=INF。

4. 最终答案

从dp[n][m]中遍历出最小值。

三、技巧回顾一下

1. 初始化INF

为了保证状态初始值的合理性,需将dp数组中默认值设为一个较大值(如2e9),而不是0。

2. 优化空间

将dp数组压缩至二维,每次生成新的状态后,可直接覆盖旧的状态。

3. 提前结束

若存在一种颜色和为K的路径,其最小路径和已经大于等于当前的dp值,则可提前结束。

4. 注意越界

在转移方程中需要对i=1和j=1的情况单独处理,防止数组越界。

四、回顾一下归纳

本文从SP青行灯的题目描述、解法分析、技巧回顾一下三个方面,对该题进行了详细的讲解。通过学习本文,读者可以了解到该题的基本思路、状态转移方程、优化技巧等方面的知识,这对于在ACM竞赛中提高个人能力和拓宽数学视野都有着重要的意义。